El concepto de razón de cambio se refiere a la
medida en la cual una variable se modifica con
relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de
sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas,
tendrán una razón de cambio igual a cero.
La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un
trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad
se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y
el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el
tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.
Supongamos que un automóvil recorre 100 kilómetros en dos
horas. La razón de cambio existente entre ambas variables es 50 kilómetros
por hora. Ese valor representa
su velocidad, ya que v = d / t (velocidad = distancia / tiempo).
A partir del conocimiento de una razón de cambio, es
posible desarrollar diferentes cálculos y previsiones. Si conocemos el nivel de
contaminación que está llegando a un arroyo a partir del vertido de sustancias
químicas por parte de una industria,
es posible utilizar la razón de cambio para señalar qué tan rápido se
incrementa el nivel de contaminación.
Con un cálculo similar, se puede calcular la velocidad de
propagación de una epidemia en una determina ciudad, tomando como datos la
cantidad de personas que
contrajo el virus en x días.
Es posible distinguir entre dos tipos de razón de cambio:
la promedio y la instantánea, las cuales se explican a
continuación. Es importante resaltar que haciendo uso de estos conceptos, se
abren las puertas a la solución de ciertos problemas para los cuales los métodos algebraicos no son efectivos.
Razón de cambio promedio
Nuestro día a día nos enfrenta a diversas razones de
cambio de situaciones sociales, económicas y naturales, entre otras, en las
cuales deseamos saber cuál es el valor más grande o el más pequeño (el máximo y
el mínimo, respectivamente), su crecimiento o su disminución en un período de tiempo determinado. Se trata de
problemas en los cuales estudiamos fenómenos relacionados con la variación de
una magnitud que depende de otra, por lo cual es necesaria una descripción y
una cuantificación de dichos cambios por medio de gráficas, tablas y modelos
matemáticos.
Así como en el ejemplo del coche que recorre 100
kilómetros en dos horas, los problemas que nos llevan a calcular la razón de
cambio promedio arrojan resultados en
los cuales se determina una variación que no necesariamente existe en la
realidad a cada momento; en otras palabras, no sabemos si el coche ha mantenido
esta velocidad a lo largo de las dos horas, sino que estimamos el promedio de
unidades de distancia al cual debió avanzar para completar dicho recorrido.
Razón de cambio instantánea
La razón de cambio instantánea también se denomina segunda
derivada y hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente
de una curva en un momento
determinado. No olvidemos que la razón de cambio muestra la proporción en la
que cambia una variable con respecto a otra o, desde un punto de vista gráfico,
la pendiente de una curva.
Si retomamos el ejemplo del coche, la razón de cambio
instantánea podría resultar útil para conocer el trayecto recorrido en un punto
específico de las dos horas, que es el plazo de tiempo total analizado en el problema. A diferencia de la razón
promedio, la instantánea tiene una visión muy puntual, ya que busca conocer o
corregir valores antes de que finalice el periodo.
Los problemas de razones de cambio relacionadas se
resuelven siguiendo los siguientes pasos:
- Hacer una ilustración de la situación planteada.
- Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo.
- Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca.
- Escribir una ecuación que relacione las variables.
Derivar implícitamente con respecto
al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.
Ejemplo 1:
Una persona de
1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros de altura
con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué rapidez crece la sombra de la persona?
Observa la siguiente animación. En
ella observarás como cambia la sombra que una persona proyecta sobre el piso,
cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.
Como habrás observado, la longitud de
la sombra depende de la distancia de la persona al poste. Puesto que la
distancia x cambia
con el tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el tiempo. La
razón de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de
la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos
razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos necesarios
para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo anterior.
La relación entre x y s es:
|
||
1.8
|
6
|
|
==
|
||
s(t)
|
s(t) + x(t)
|
|
Despejando a s(t) obtenemos:
s(t) = (0.428571) x(t)
Derivando con
respecto al tiempo obtenemos s'(t):
s'(t) = (0.428571) x'(t)
Sustituyendo el valor de x'(t)=1. obtenemos:
s'(t) = 0.428571
La razón de cambio de s con respecto a t es:
s'(t)= 0.428571 cuando x'(t)= 1
|
||
Los pasos ilustrados en el ejemplo
anterior son típicos en la solución de un problema de razones de cambio
relacionadas. Este procedimiento se resume en la siguiente lista.
Ejemplo
2:
Se inyecta aire a
un globo esférico a razón de 20 pies cúbicos / min. ¿A qué razón varía el radio
cuando éste mide 3 pies? La solución y una animación que ilustra el problema se
muestran a continuación.
Observa que si V representa el volumen y r el radio:
dV/dt = 20 pies cúbicos / min
dr/dt = ? cuando r =3 pies.
La relacion entre volumen y radio
es:
|
|||||
4
 r(t)3 |
|||||
V(t) =
|
|||||
3
|
|||||
Derivando
implícitamente con respecto al tiempo
V'(t) = 4 r(t)2 r'(t)
Despejando r'(t) obtenemos:
|
|||||
V'(t)
|
|||||
r'(t) =
|
|||||
4
r(t)2 |
|||||
Sustituyendo V'(t)= 20 y r(t)= 3:
|
|||||
5
|
|||||
r'(t) =
|
|||||
9
|
|||||
La razón de cambio buscada es |
 |
||||
5
|
|||||
r'(t)=
|
|||||
jas se surten diariamente cuando p dólares es el
precio por cana
Si el suministro diario decrece
a una tasa de 250 canastillas por día, ¿a qué tasa está variando el precio
cuando la oferta diaria es de 5 000 canastillas?
Solución Sea t días el tiempo
que ha transcurrido desde que el suministro diario empezó a decrecer. Las
variables p y x están definidas como funciones de t en el enunciado del
problema. Debido a que el suministro diario está decreciendo a una tasa de 250
canastillas por día, entonces
dx/dt = -250/1000 esto
es , dx/dt es igual a -1/4 se desea determinar dt/dp cuando =5
De la ecuación de oferta dada,
al diferenciar implícitamente con respecto a t se obtiene
p (dx/dt) + x (dp/dt) -20
(dp/dt) = 0
dp/dt = (3-p/x-20) * dx/dt
Cuando x = 5, se deduce de la
ecuación de oferta que p = . Debido a que dx/dt = -1/4, se tiene de la
ecuacion anterior
Resp. el recio de una
canastilla de naranjas esta decreciendo a la tasa de $0.05 por dia cuando la
oferta diaria es de 5000 canastillas.
Ejemplo 4
Una escalera de 25 pie de longitud
está apoyada contra una pared vertical como se muestra en la figura l. La base
de la escalera se jala horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/s.
Suponga que se desea determinar qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte
superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a 15 pie de
la pared.
Primero defina las variables
comenzando ctm 1. r: el número de segundos del tiempo que ha transcurrido desde
que la escalera comenzó a deslizarse hacia abajo sobre la pared. x: el número
de pies de la distancia desde la base de la escalera a la pared a los t
segundos. y: el número de pies de la distancia desde el piso a
la parte superior de la escalera a los t segundos.
Escriba cualquier hecho numérico acerca de x. y y sus derivadas con respecto a 1. Como la base de la escalera es jalada horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/s, ax/dt = 3
Escriba lo
que desea determinar.
Se desea determinar dy/dt cuando
x=15
Escriba una ecuación que
relacione a x y y. Del teorema de Pitágoras,
y2 (y al
cuadrado) = 625 - x2 (x al cuadrado)
Derive los dos miembros de (1)
con respecto a t
2y dy/dt
= -2x dx/dt
dy/dt = -x/y * dx/dy
Sustituya los valores conocidos de x y y dx/dt en la ecuación anterior y resuelvala para dy/dt.  el signo menor indica que decrece confomre t aumenta
Ejemplo 5
Cierta cantidad de agua fluye a
una tasa de 2 m3/min hacia el interior de un deposito cuya forma es da de un
cono invertido de 16 m de altura y 4m de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel
del agua cuando esta ha alcanzado 5 m de profundidad?
Solución refiérase a la
figura 2
Se definen las variables. Primero
t y después las otras variables en términos de t.
T: el número de minutos del
tiempo que ha transcurrido desde que el agua comenzó a fluir dentro del tanque.
H: el número de metros de
altura del nivel del agua a los t minutos
R: el número de metros del
radio de la superficie del agua a los t minutos
V: el número de metros cúbicos
del volumen de agua en el tanque a los t minutos. Observe que V, r y h, son
funciones de t
Puesto que el agua fluye dentro
del tanque a una tasa de 2m3/ minutos, entonces dV/dt =2
Se desea determinar dh/dt
cuando h = 5
En cualquier tiempo, el volumen
del agua en el tanque puede expresarse en el volumen de un cono, como indica la
figura.
V = 1/3 pi r2 h
Como se estableció en los pasos
2 y 3, se conoce dV/dt. Y se desea determinar dh/dt. Por tanto, se necesita una
ecuación que involucre que, de los triángulos semejantes de la figura 2 se
tiene.
Si se sustituye este valor de r
en (3), se obtiene
A la diferencia los dos
miembros de esta ecuación con respecto a t, resulta:
Ahora se sustituye 2 por dV/dt
y se resuelve la ecuación para dh/dt obteniéndose
Al convertir metros a centímetros
se tiene: 0.4070 m/min = a 40.74 cm/min
A continuación se escribirá la
conclusión
Resp: El
nivel del agua sube a una tasa de 40.74 cm/min cuando el agua ha alcanzado una
profundidad de 5m.
|
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