Optimización y tasas relacionadas: 2016

TASAS RELACIONADAS

DEFINICIÓN

DE RAZÓN DE CAMBIO

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.

La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.

Supongamos que un automóvil recorre 100 kilómetros en dos horas. La razón de cambio existente entre ambas variables es 50 kilómetros por hora. Ese valor representa su velocidad, ya que v = d / t (velocidad = distancia / tiempo).

A partir del conocimiento de una razón de cambio, es posible desarrollar diferentes cálculos y previsiones. Si conocemos el nivel de contaminación que está llegando a un arroyo a partir del vertido de sustancias químicas por parte de una industria, es posible utilizar la razón de cambio para señalar qué tan rápido se incrementa el nivel de contaminación.

Con un cálculo similar, se puede calcular la velocidad de propagación de una epidemia en una determina ciudad, tomando como datos la cantidad de personas que contrajo el virus en x días.

Es posible distinguir entre dos tipos de razón de cambio: la promedio y la instantánea, las cuales se explican a continuación. Es importante resaltar que haciendo uso de estos conceptos, se abren las puertas a la solución de ciertos problemas para los cuales los métodos algebraicos no son efectivos.

Razón de cambio promedio

Nuestro día a día nos enfrenta a diversas razones de cambio de situaciones sociales, económicas y naturales, entre otras, en las cuales deseamos saber cuál es el valor más grande o el más pequeño (el máximo y el mínimo, respectivamente), su crecimiento o su disminución en un período de tiempo determinado. Se trata de problemas en los cuales estudiamos fenómenos relacionados con la variación de una magnitud que depende de otra, por lo cual es necesaria una descripción y una cuantificación de dichos cambios por medio de gráficas, tablas y modelos matemáticos.

Así como en el ejemplo del coche que recorre 100 kilómetros en dos horas, los problemas que nos llevan a calcular la razón de cambio promedio arrojan resultados en los cuales se determina una variación que no necesariamente existe en la realidad a cada momento; en otras palabras, no sabemos si el coche ha mantenido esta velocidad a lo largo de las dos horas, sino que estimamos el promedio de unidades de distancia al cual debió avanzar para completar dicho recorrido.

Razón de cambio instantánea

La razón de cambio instantánea también se denomina segunda derivada y hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente de una curva en un momento determinado. No olvidemos que la razón de cambio muestra la proporción en la que cambia una variable con respecto a otra o, desde un punto de vista gráfico, la pendiente de una curva.

Si retomamos el ejemplo del coche, la razón de cambio instantánea podría resultar útil para conocer el trayecto recorrido en un punto específico de las dos horas, que es el plazo de tiempo total analizado en el problema. A diferencia de la razón promedio, la instantánea tiene una visión muy puntual, ya que busca conocer o corregir valores antes de que finalice el periodo.

Los problemas de razones de cambio relacionadas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:

Hacer una ilustración de la situación planteada.
Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo.
Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca.
Escribir una ecuación que relacione las variables.

Derivar implícitamente con respecto al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.

Ejemplo 1:

Una persona de 1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros de altura con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué rapidez crece la sombra de la persona?

Observa la siguiente animación. En ella observarás como cambia la sombra que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.

Como habrás observado, la longitud de la sombra depende de la distancia de la persona al poste. Puesto que la distancia x cambia con el tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el tiempo. La razón de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo anterior.

La relación entre x y s es:
1.8		6
	==
s(t)		s(t) + x(t)
Despejando a s(t) obtenemos: s(t) = (0.428571) x(t) Derivando con respecto al tiempo obtenemos s'(t): s'(t) = (0.428571) x'(t) Sustituyendo el valor de x'(t)=1. obtenemos: s'(t) = 0.428571 La razón de cambio de s con respecto a t es: s'(t)= 0.428571 cuando x'(t)= 1

Los pasos ilustrados en el ejemplo anterior son típicos en la solución de un problema de razones de cambio relacionadas. Este procedimiento se resume en la siguiente lista.

Ejemplo 2:

Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pies cúbicos / min. ¿A qué razón varía el radio cuando éste mide 3 pies? La solución y una animación que ilustra el problema se muestran a continuación.

Observa que si V representa el volumen y r el radio:

dV/dt = 20 pies cúbicos / min

dr/dt = ? cuando r =3 pies.

La relacion entre volumen y radio es:

4 r(t)³

V(t) =

Derivando implícitamente con respecto al tiempo

V'(t) = 4r(t)² r'(t)

Despejando r'(t) obtenemos:

V'(t)

r'(t) =

4r(t)²

Sustituyendo V'(t)= 20 y r(t)= 3:

r'(t) =

La razón de cambio buscada es

r'(t)=

jas se surten diariamente cuando p dólares es el precio por cana

Ejemplo 3

Suponga que en cierto mercado, x miles de canastillas de naran

stilla. La ecuación de oferta es px - 20p - 3x + 105 = O

Si el suministro diario decrece a una tasa de 250 canastillas por día, ¿a qué tasa está variando el precio cuando la oferta diaria es de 5 000 canastillas?

Solución Sea t días el tiempo que ha transcurrido desde que el suministro diario empezó a decrecer. Las variables p y x están definidas como funciones de t en el enunciado del problema. Debido a que el suministro diario está decreciendo a una tasa de 250 canastillas por día, entonces

dx/dt = -250/1000 esto es , dx/dt es igual a -1/4 se desea determinar dt/dp cuando =5

De la ecuación de oferta dada, al diferenciar implícitamente con respecto a t se obtiene

p (dx/dt) + x (dp/dt) -20 (dp/dt) = 0

dp/dt = (3-p/x-20) * dx/dt

Cuando x = 5, se deduce de la ecuación de oferta que p = . Debido a que dx/dt = -1/4, se tiene de la ecuacion anterior

Resp. el recio de una canastilla de naranjas esta decreciendo a la tasa de $0.05 por dia cuando la oferta diaria es de 5000 canastillas.

Ejemplo 4

Una escalera de 25 pie de longitud está apoyada contra una pared vertical como se muestra en la figura l. La base de la escalera se jala horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/s. Suponga que se desea determinar qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a 15 pie de la pared.

Primero defina las variables comenzando ctm 1. r: el número de segundos del tiempo que ha transcurrido desde que la escalera comenzó a deslizarse hacia abajo sobre la pared. x: el número de pies de la distancia desde la base de la escalera a la pared a los t segundos. y: el número de pies de la distancia desde el piso a

la parte superior de la escalera a los t segundos.

Escriba cualquier hecho numérico acerca de x. y y sus derivadas con respecto a 1. Como la base de la escalera es jalada horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/s, ax/dt = 3

Escriba lo que desea determinar.

Se desea determinar dy/dt cuando x=15

Escriba una ecuación que relacione a x y y. Del teorema de Pitágoras,

y2 (y al cuadrado) = 625 - x2 (x al cuadrado)

Derive los dos miembros de (1) con respecto a t

2y dy/dt = -2x dx/dt

dy/dt = -x/y * dx/dy

Sustituya los valores conocidos de x y y dx/dt en la ecuación anterior y resuelvala para dy/dt.

el signo menor indica que decrece confomre t aumenta

Ejemplo 5

Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m3/min hacia el interior de un deposito cuya forma es da de un cono invertido de 16 m de altura y 4m de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando esta ha alcanzado 5 m de profundidad?

Solución refiérase a la figura 2

Se definen las variables. Primero t y después las otras variables en términos de t.

T: el número de minutos del tiempo que ha transcurrido desde que el agua comenzó a fluir dentro del tanque.

H: el número de metros de altura del nivel del agua a los t minutos

R: el número de metros del radio de la superficie del agua a los t minutos

V: el número de metros cúbicos del volumen de agua en el tanque a los t minutos. Observe que V, r y h, son funciones de t

Puesto que el agua fluye dentro del tanque a una tasa de 2m3/ minutos, entonces dV/dt =2

Se desea determinar dh/dt cuando h = 5

En cualquier tiempo, el volumen del agua en el tanque puede expresarse en el volumen de un cono, como indica la figura.

V = 1/3 pi r2 h

Como se estableció en los pasos 2 y 3, se conoce dV/dt. Y se desea determinar dh/dt. Por tanto, se necesita una ecuación que involucre que, de los triángulos semejantes de la figura 2 se tiene.